Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (3 \sin (x))}{\sin (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (3 \sin (x))$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 \sin (x))] - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 \sin (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) (3 \frac{d}{d x} [\sin (x)])) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cdot \cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 5

Reordena los factores de $3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x) \cos (3 \sin (x)) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7.2

Reordena los términos.

$\frac{3 \cos (x) \cos (3 \sin (x)) \sin (x) - \cos (x) \sin (3 \sin (x))}{\sin^{2} (x)}$