Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 8}{x - 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 8$ y $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \cdot 1 - (x + 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x - 2 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x - 2 - x \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 2 - x - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $- 1 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{x - 2 - x - 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{x - 2 - x - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Combina los términos opuestos en $x - 2 - x - 8$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 2 - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{- 2 - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Resta $8$ de $- 2$ .

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$