Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} e^{x} - 1 \cdot 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Reordena los factores en $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{4}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Factoriza $x$ de $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $x$ de $e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{x^{4}}$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $x$ de $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ .

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{x^{4}}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{x^{4}}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $x e^{x} (x - 2)$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

Paso 4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{x^{3}}$