Cálculo Ejemplos

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ es $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ donde $f (r) = r$ y $g (r) = \sqrt{r^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r^{2} + 1}$ como ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ y $g (r) = r^{2} + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 8.3

Mueve ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $r^{2} + 1$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 11

Como $1$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $1$ con respecto a $r$ es $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Suma $2 r$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 12.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r)}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 12.3

Combina $\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 12.4

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 12.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.1

Multiplica $\sqrt{r^{2} + 1}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.1.2

Multiplica $- r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 13.1.1.2.1

Combina $\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r \cdot r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.1.2.2

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.1.2.3

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r^{1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1 + 1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.2

Para escribir $\sqrt{r^{2} + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.4.1

Multiplica $\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 13.1.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r^{2} + 1}$ como ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.2

Simplifica.

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.3

Resta $r^{2}$ de $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.1.4.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Reescribe ${\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}$ como $r^{2} + 1$ .

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Paso 13.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r^{2} + 1}$ como ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 13.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 13.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 13.2.1.5

Simplifica.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Paso 13.2.2

Reescribe $\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ como un producto.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

Paso 13.2.3

Multiplica $\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{r^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

Paso 13.2.4

Multiplica ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $r^{2} + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.4.1

Multiplica ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $r^{2} + 1$ .

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Paso 13.2.4.1.1

Eleva $r^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 13.2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 13.2.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 13.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 13.2.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$