Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\cos (t)}{t^{5}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = t^{5}$ .

$\frac{t^{5} \frac{d}{d t} [\cos (t)] - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- t^{5} \sin (t) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}}{{(t^{5})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Reordena los factores en $- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{{(t^{5})}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{5})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{5 \cdot 2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $t^{4}$ de $- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $t^{4}$ de $- t^{5} \sin (t)$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $t^{4}$ de $- 5 t^{4} \cos (t)$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Paso 4.2.2.3

Factoriza $t^{4}$ de $t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Paso 4.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $t^{4}$ de $t^{10}$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Paso 4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- t \sin (t) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Paso 4.3

Factoriza $- 1$ de $- t \sin (t)$ .

$\frac{- (t \sin (t)) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- 5 \cos (t)$ .

$\frac{- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))}{t^{6}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))$ .

$\frac{- (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Paso 4.6

Reescribe $- (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ como $- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$\frac{- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{t \sin (t) + 5 \cos (t)}{t^{6}}$