Cálculo Ejemplos

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 18 t$ y $g (t) = t^{2} + 81$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $18$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $18 t$ con respecto a $t$ es $18 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $18$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 81$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $81$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $81$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $18$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $81$ por $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.4.1

Mueve $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1 \cdot 18 \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $- 18$ por $2$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $36 t^{2}$ de $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Factoriza $18$ de $- 18 t^{2} + 1458$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $18$ de $- 18 t^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $18$ de $1458$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $18$ de $18 (- t^{2}) + 18 (81)$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Reordena $- t^{2}$ y $9^{2}$ .

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 9$ y $b = t$ .

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$