Cálculo Ejemplos

$\frac{w^{2} + 1}{w^{2} - w - 6}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ es $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ donde $f (w) = w^{2} + 1$ y $g (w) = w^{2} - w - 6$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) \frac{d}{d w} [w^{2} + 1] - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $w^{2} + 1$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $1$ con respecto a $w$ es $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + 0) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $2 w$ y $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $w^{2} - w - 6$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d w} [- w]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $- w$ con respecto a $w$ es $- \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $w$ es $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + 0)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $2 w - 1$ y $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 w^{2} w - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $w^{2}$ por $w$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.1

Mueve $w$ .

$\frac{2 (w \cdot w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Multiplica $w$ por $w^{2}$ .

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Paso 5.3.1.2.2.1

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (w^{1} w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 w^{1 + 2} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 w^{3} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w \cdot w - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $w$ por $w$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.4.1

Mueve $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 (w \cdot w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Multiplica $w$ por $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.6

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.8

Expande $(- w^{2} - 1) (2 w - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w - 1) - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.9.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{2} w - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.2

Multiplica $w^{2}$ por $w$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.9.2.1

Mueve $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w \cdot w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.2.2

Multiplica $w$ por $w^{2}$ .

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Paso 5.3.1.9.2.2.1

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w^{1} w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{1 + 2} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.4

Multiplica $- w^{2} \cdot - 1$ .

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Paso 5.3.1.9.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + 1 w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.4.2

Multiplica $w^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.9.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Combina los términos opuestos en $2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1$ .

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Paso 5.3.2.1

Resta $2 w^{3}$ de $2 w^{3}$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + 0 + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Suma $- 2 w^{2} - 12 w$ y $0$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Suma $- 2 w^{2}$ y $w^{2}$ .

$\frac{- w^{2} - 12 w - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.3.4

Resta $2 w$ de $- 12 w$ .

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.1

Factoriza $w^{2} - w - 6$ con el método AC.

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Paso 5.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 5.4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{((w - 3) (w + 2))}^{2}}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $(w - 3) (w + 2)$ .

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- w^{2}$ .

$\frac{- (w^{2}) - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- 14 w$ .

$\frac{- (w^{2}) - (14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- (w^{2}) - (14 w)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Paso 5.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Paso 5.9

Factoriza $- 1$ de $- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Paso 5.10

Reescribe $- (w^{2} + 14 w - 1)$ como $- 1 (w^{2} + 14 w - 1)$ .

$\frac{- 1 (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Paso 5.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{w^{2} + 14 w - 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$