Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt[3]{4 x^{3} + 8}}{{(x + 2)}^{5}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sqrt[3]{4 x^{3} + 8}$ y $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{4 x^{3} + 8}] - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 x^{3} + 8}$ como ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}] - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 4 x^{3} + 8$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x^{3} + 8$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x^{3} + 8$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 7.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{{(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 8.3

Mueve ${(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 12

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 13

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (12 x^{2} + 0)) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Suma $12 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (12 x^{2})) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 14.2

Combina $12$ y $\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{12}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} x^{2}) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 14.3

Combina $\frac{12}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{12 x^{2}}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 14.4

Factoriza $3$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{3 (4 x^{2})}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 15

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.1

Factoriza $3$ de $3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{3 (4 x^{2})}{3 ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}})} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{3 (4 x^{2})}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 16

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 16.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 16.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 16.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 17

Diferencia.

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Paso 17.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 17.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [2]))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 17.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 17.4

Simplifica la expresión.

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Paso 17.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 17.4.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica el numerador.

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Paso 18.1.1

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de ${(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})$ .

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Paso 18.1.1.1

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de ${(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.1.2

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de $- \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}) + {(x + 2)}^{4} (- \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.1.3

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de ${(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}) + {(x + 2)}^{4} (- \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.2

Multiplica $x + 2$ por $\frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{(x + 2) (4 x^{2})}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x + 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 \cdot (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 8$ .

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Paso 18.1.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 (x^{3}) + 8} \cdot 5)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.4.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 4 \cdot 2} \cdot 5)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.4.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} \cdot 5)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.6

Para escribir $- 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} \cdot \frac{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.7

Combina $- 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)}$ y $\frac{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x + 2) x^{2} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9

Reescribe $\frac{4 (x + 2) x^{2} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ en forma factorizada.

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Paso 18.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)}$ como ${(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x + 2) x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{(4 x + 4 \cdot 2) x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{(4 x + 8) x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x \cdot x^{2} + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.1.9.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x^{2} x) + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 18.1.9.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x^{2} x^{1}) + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{2 + 1} + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 4 \cdot 2)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.8

Multiplica ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.1.9.8.1

Mueve ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.8.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{3}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.8.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{1}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.9

Simplifica $- 5 {(4 x^{3} + 8)}^{1}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 (4 x^{3} + 8)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 (4 x^{3}) - 5 \cdot 8}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.11

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x^{3} - 5 \cdot 8}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.12

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x^{3} - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.13

Resta $20 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{- 16 x^{3} + 8 x^{2} - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.14

Factoriza $8$ de $- 16 x^{3} + 8 x^{2} - 40$ .

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Paso 18.1.9.14.1

Factoriza $8$ de $- 16 x^{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3}) + 8 x^{2} - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.14.2

Factoriza $8$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3}) + 8 (x^{2}) - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.14.3

Factoriza $8$ de $- 40$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3}) + 8 x^{2} + 8 \cdot - 5}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.14.4

Factoriza $8$ de $8 (- 2 x^{3}) + 8 x^{2}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2}) + 8 \cdot - 5}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.1.9.14.5

Factoriza $8$ de $8 (- 2 x^{3} + x^{2}) + 8 \cdot - 5$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.2

Combina los términos.

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Paso 18.2.1

Combina ${(x + 2)}^{4}$ y $\frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.2.2

Mueve $8$ a la izquierda de ${(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

Paso 18.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{5})}^{2}$ .

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Paso 18.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x + 2)}^{5 \cdot 2}}$

Paso 18.2.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x + 2)}^{10}}$

Paso 18.2.4

Reescribe $\frac{\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x + 2)}^{10}}$ como un producto.

$\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x + 2)}^{10}}$

Paso 18.2.5

Multiplica $\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x + 2)}^{10}}$ .

$\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{10}}$

Paso 18.2.6

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de $8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{10}}$

Paso 18.2.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.2.7.1

Factoriza ${(x + 2)}^{4}$ de ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{10}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(x + 2)}^{4} ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6})}$

Paso 18.2.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(x + 2)}^{4} ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6})}$

Paso 18.2.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

Paso 18.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{8 (- (2 x^{3}) + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

Paso 18.4

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{8 (- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

Paso 18.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{8 (- (2 x^{3} - x^{2}) - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

Paso 18.6

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{8 (- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

Paso 18.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{8 (- (2 x^{3} - x^{2} + 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

Paso 18.8

Reescribe $- (2 x^{3} - x^{2} + 5)$ como $- 1 (2 x^{3} - x^{2} + 5)$ .

$\frac{8 (- 1 (2 x^{3} - x^{2} + 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

Paso 18.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 (2 x^{3} - x^{2} + 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$