Cálculo Ejemplos

$e^{x} (x^{2} + 1) (x + 4)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x} (x^{2} + 1)$ y $g (x) = x + 4$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Paso 2.4

Suma $1$ y $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 4.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) e^{x})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + 1 e^{x})$

Paso 6.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x})$

Paso 6.4

Reordena los factores en $2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} x^{2} \cdot 1 + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Paso 7.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Paso 7.3.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4) + e^{x}$

Paso 7.5

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.1

Expande $(2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} x + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.2.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.2.1.1

Mueve $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 (x \cdot x) e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.2.3.1

Mueve $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x \cdot x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.5.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1} x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1 + 2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 \cdot (x^{2} e^{x}) + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Paso 7.5.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

Paso 7.5.3

Suma $2 x^{2} e^{x}$ y $4 x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

Paso 7.5.4

Suma $8 x e^{x}$ y $e^{x} x$ .

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Paso 7.5.4.1

Reordena $e^{x}$ y $x$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Paso 7.5.4.2

Suma $8 x e^{x}$ y $x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Paso 7.6

Suma $e^{x} x^{2}$ y $6 x^{2} e^{x}$ .

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Paso 7.6.1

Reordena $e^{x}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Paso 7.6.2

Suma $x^{2} e^{x}$ y $6 x^{2} e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Paso 7.7

Suma $4 e^{x}$ y $e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 5 e^{x}$