Cálculo Ejemplos

$f (x) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (y + 8 y^{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ y $g (x) = y + 8 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \frac{d}{d x} [y + 8 y^{3}] + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 8 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Paso 2.3

Como $8 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + 0) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Paso 2.4

Suma $0$ y $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Paso 2.6

Como $\frac{1}{y^{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{y^{2}}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Paso 2.7

Como $- \frac{2}{y^{4}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{y^{4}}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + 0)$

Paso 2.8

Suma $0$ y $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $0$ .

$0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Paso 3.3.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 \frac{2}{y^{4}} + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Paso 3.3.3

Multiplica $0$ por $\frac{2}{y^{4}}$ .

$0 + 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Paso 3.3.5

Multiplica $y$ por $0$ .

$0 + 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Paso 3.3.6

Multiplica $0$ por $8$ .

$0 + 0 + 0 y^{3}$

Paso 3.3.7

Multiplica $0$ por $y^{3}$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 3.3.8

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 3.3.9

Suma $0$ y $0$ .

$0$