Cálculo Ejemplos

$f (x) = (4 x + 7) (x^{3} - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x + 7$ y $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(4 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(4 x + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + 0)$

Paso 4.2

Suma $4$ y $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x \cdot x^{2} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 (x^{2} x^{1}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x^{2 + 1} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$12 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.3

Multiplica $3$ por $7$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot 4$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 x^{3} - 8$

Paso 5.3.6

Suma $12 x^{3}$ y $4 x^{3}$ .

$16 x^{3} + 21 x^{2} - 8$