Cálculo Ejemplos

$h (x) = 7 x^{2} {(6 x + 9)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 7 x^{2}$ y $g (x) = {(6 x + 9)}^{4}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x + 9)}^{4}] + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 6 x + 9$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x + 9$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x + 9]) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$7 x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 9]) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 9$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 9]) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 9)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 9)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 9)}^{3} (6 + \frac{d}{d x} [9])) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 9)}^{3} (6 + 0)) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $6$ y $0$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 9)}^{3} \cdot 6) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.6.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 9)}^{3}) + {(6 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.7

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 9)}^{3}) + {(6 x + 9)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 9)}^{3}) + {(6 x + 9)}^{4} (7 (2 x))$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $7$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 9)}^{3}) + {(6 x + 9)}^{4} (14 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $24$ por $7$ .

$168 x^{2} {(6 x + 9)}^{3} + {(6 x + 9)}^{4} (14 x)$

Paso 4.2

Mueve $14$ a la izquierda de ${(6 x + 9)}^{4}$ .

$168 x^{2} {(6 x + 9)}^{3} + 14 \cdot {(6 x + 9)}^{4} x$

Paso 4.3

Factoriza $14 x {(6 x + 9)}^{3}$ de $168 x^{2} {(6 x + 9)}^{3} + 14 {(6 x + 9)}^{4} x$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $14 x {(6 x + 9)}^{3}$ de $168 x^{2} {(6 x + 9)}^{3}$ .

$14 x {(6 x + 9)}^{3} (12 x) + 14 {(6 x + 9)}^{4} x$

Paso 4.3.2

Factoriza $14 x {(6 x + 9)}^{3}$ de $14 {(6 x + 9)}^{4} x$ .

$14 x {(6 x + 9)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 9)}^{3} (6 x + 9)$

Paso 4.3.3

Factoriza $14 x {(6 x + 9)}^{3}$ de $14 x {(6 x + 9)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 9)}^{3} (6 x + 9)$ .

$14 x {(6 x + 9)}^{3} (12 x + 6 x + 9)$

Paso 4.4

Suma $12 x$ y $6 x$ .

$14 x {(6 x + 9)}^{3} (18 x + 9)$