Cálculo Ejemplos

$h (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ es $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ donde $f (u) = u - \sqrt{u}$ y $g (u) = u + \sqrt{u}$ .

$(u - \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u + \sqrt{u}] + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u + \sqrt{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$ .

$(u - \sqrt{u}) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u - \sqrt{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}]$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}])$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d u} [- \sqrt{u}]$ .

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [- u^{\frac{1}{2}}])$

Paso 6.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $- \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}])$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 6.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 6.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 6.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 6.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 6.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 6.10

Mueve $u^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reordena los términos.

$(1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Expande $(1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u - \sqrt{u})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (u - \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $u$ por $1$ .

$u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- \sqrt{u}$ por $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.3

Combina $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ y $u$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.4

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.2.5.1

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.2.2.5.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u} + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.2.7

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.3

Expande $(1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 (u + \sqrt{u}) - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u + \sqrt{u})$

Paso 7.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $u$ por $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $\sqrt{u}$ por $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.3

Combina $u$ y $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.4

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.5

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.4.5.1

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.2.4.5.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Paso 7.2.4.6

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.3

Combina los términos opuestos en $u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 7.3.1

Suma $- \sqrt{u}$ y $\sqrt{u}$ .

$u + 0 + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.3.2

Suma $u$ y $0$ .

$u + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.3.3

Resta $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ de $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$u + 0 - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.3.4

Suma $u$ y $0$ .

$u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u + u + \frac{- \sqrt{u} - \sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.5

Resta $\sqrt{u}$ de $- \sqrt{u}$ .

$u + u + \frac{- 2 \sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.6

Simplifica cada término.

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Paso 7.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{u}$ .

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.2.1

Factoriza $2$ de $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 (u^{\frac{1}{2}})}$

Paso 7.6.2.2

Cancela el factor común.

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$u + u + \frac{- \sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u + u - \frac{\sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.7

Suma $u$ y $u$ .

$2 u - \frac{\sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$