Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{2} - 3 x + 1)}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 3 x + 1$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 + 0)$

Paso 4.2

Suma $2 x - 3$ y $0$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3)$