Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$ como ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}]$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 4}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = x^{2} - 2 x - 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2 x - 5$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 3.6

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + 0)$

Paso 3.7

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Paso 4.3

Reordena los factores de $- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.7

Multiplica $- 2 x + 2$ por $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{(- 2 x + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1

Factoriza $2$ de $- 2 x + 2$ .

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Paso 4.8.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.8.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (1)) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.8.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.8.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.10

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.11

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.12

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Paso 4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$