Cálculo Ejemplos

$f (x) = (3 x - 5) (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x - 5$ y $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 1] + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(3 x - 5) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 5.2

Suma $6 x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Paso 5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 6.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

Paso 7.2

Suma $3$ y $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 5) (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5

Combina los términos.

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Paso 8.5.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 x \cdot x^{2} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.5.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 x^{2 + 1} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$18 x^{3} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.3

Multiplica $6$ por $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x \cdot x - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.9

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.10

Resta $6 x^{2}$ de $- 30 x^{2}$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 1 \cdot 3$

Paso 8.5.13

Multiplica $3$ por $1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

Paso 8.5.14

Suma $18 x^{3}$ y $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x - 3 x^{2} + 3$

Paso 8.5.15

Resta $3 x^{2}$ de $- 36 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 39 x^{2} + 10 x + 3$