Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Paso 9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Paso 10.2

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Combina $2$ y $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.2.2

Divide $π$ por $1$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.3

Combina $\frac{π}{2}$ y $\cos (π)$ .

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.4

Reescribe $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ como un producto.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.5

Multiplica $\frac{π \cos (π)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.8

Multiplica $0$ por $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.3.9.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.10

Suma $- \frac{π \cos (π)}{4}$ y $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.11

Para escribir $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Paso 10.3.12

Combina $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Paso 10.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Paso 10.3.14

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Paso 10.3.15

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.3.15.1

Cancela el factor común.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Paso 10.3.15.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Paso 10.3.16

Multiplica $\sin (π) - \sin (0)$ por $1$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

Paso 11.3

Suma $- π \cos (π) + \sin (π)$ y $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

Paso 11.4

Factoriza $- 1$ de $- π \cos (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

Paso 11.5

Factoriza $- 1$ de $\sin (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

Paso 11.6

Factoriza $- 1$ de $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ .

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Paso 11.7

Reescribe $- (π \cos (π) - \sin (π))$ como $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ .

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Paso 11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

Paso 12.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

Paso 12.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

Paso 12.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

Paso 12.5

Reescribe $- 1 π$ como $- π$ .

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

Paso 12.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

Paso 12.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{- π - 0}{4}$

Paso 12.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{- π + 0}{4}$

Paso 12.9

Suma $- π$ y $0$ .

$- \frac{- π}{4}$

Paso 12.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{π}{4}$

Paso 12.11

Multiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Paso 12.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Paso 12.11.2

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{4}$

Forma decimal:

$0.78539816 \dots$