Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (\ln (2 x + 1))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (2 x + 1)$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + 0))$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \cdot 2)$

Paso 3.6.2

Combina $\frac{1}{2 x + 1}$ y $2$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{2}{2 x + 1}$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{2}{2 x + 1}$ y $\sin (\ln (2 x + 1))$ .

$- \frac{2 \sin (\ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$