Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 1.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Paso 1.2.2.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.2.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Paso 1.2.2.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Paso 1.2.2.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

Paso 1.2.2.3.4

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

Paso 1.2.2.3.5

Resta $81$ de $27$ .

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

Paso 1.2.2.3.6

Multiplica $24$ por $3$ .

$- 54 + 72 - 18$

Paso 1.2.2.3.7

Suma $- 54$ y $72$ .

$18 - 18$

Paso 1.2.2.3.8

Resta $18$ de $18$ .

$0$

Paso 1.2.2.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

Paso 1.2.2.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ por $x - 3$ .

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Paso 1.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

Paso 1.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

Paso 1.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 1.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 1.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 1.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 1.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 1.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Paso 1.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 18 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Paso 1.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

Paso 1.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Paso 1.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Paso 1.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Paso 1.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x - 18$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Paso 1.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

Paso 1.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 6 x + 6$

Paso 1.2.2.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.2.5

Establece $x^{2} - 6 x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x^{2} - 6 x + 6$ igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.3.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.3

Resta $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Paso 1.2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.3

Resta $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Paso 1.2.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

Paso 1.2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.3

Resta $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Paso 1.2.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

Paso 1.2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Paso 2.2.4

Simplifica ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Paso 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

Paso 2.2.4.1.3

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

Paso 2.2.4.1.4

Multiplica $24$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Paso 2.2.4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 - 18$

Paso 2.2.4.2.3

Resta $18$ de $0$ .

$y = - 18$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, - 18)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, - 18)$

Paso 4