Cálculo Ejemplos

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 8 x - 16 y - 20 = 0$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 8 x - 16 \cdot 0 - 20 = 0$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Simplifica $4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 8 x - 16 \cdot 0 - 20$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x^{2} + 4 \cdot 0 - 8 x - 16 \cdot 0 - 20 = 0$

Paso 1.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 8 x - 16 \cdot 0 - 20 = 0$

Paso 1.2.1.1.3

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 20 = 0$

Paso 1.2.1.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 20$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Suma $4 x^{2}$ y $0$ .

$4 x^{2} - 8 x + 0 - 20 = 0$

Paso 1.2.1.2.2

Suma $4 x^{2} - 8 x$ y $0$ .

$4 x^{2} - 8 x - 20 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 8 x - 20$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 8 x - 20 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $4$ de $- 8 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) - 20 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 2 x)$ .

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 5$ .

$4 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $4 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $4 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2} - 2 x - 5$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x - 5 = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Suma $4$ y $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Suma $4$ y $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{6}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.3

Suma $4$ y $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Paso 1.2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{6}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(1 + \sqrt{6}, 0), (1 - \sqrt{6}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20 = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica $4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20 = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20 = 0$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$0 + 4 y^{2} + 0 - 16 y - 20 = 0$

Paso 2.2.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 4 y^{2} + 0 - 16 y - 20$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $0$ y $4 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 0 - 16 y - 20 = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $4 y^{2}$ y $0$ .

$4 y^{2} - 16 y - 20 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2} - 16 y - 20$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$4 (y^{2}) - 16 y - 20 = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 16 y$ .

$4 (y^{2}) + 4 (- 4 y) - 20 = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$4 y^{2} + 4 (- 4 y) + 4 \cdot - 5 = 0$

Paso 2.2.2.1.4

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 4 (- 4 y)$ .

$4 (y^{2} - 4 y) + 4 \cdot - 5 = 0$

Paso 2.2.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} - 4 y) + 4 \cdot - 5$ .

$4 (y^{2} - 4 y - 5) = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $y^{2} - 4 y - 5$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 2.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((y - 5) (y + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (y - 5) (y + 1) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 1 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

Paso 2.2.5

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (y - 5) (y + 1) = 0$ verdadera.

$y = 5, - 1$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 5), (0, - 1)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(1 + \sqrt{6}, 0), (1 - \sqrt{6}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 5), (0, - 1)$

Paso 4