Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x + 5}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 5$ y $g (x) = \sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\sqrt{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 4.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{x}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{x} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $2$ de $- (2 x)$ .

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{x} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.3

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.4

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.5

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.5.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.3.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.7

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 11.4

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 11.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Paso 11.4.5

Simplifica.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.1

Para escribir $- x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.2

Combina $- x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4

Simplifica cada término.

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Paso 11.6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5$ .

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Paso 11.6.4.1.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.1.3

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.6.4.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- (2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{2}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{1} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.1.3

Simplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{- (2 x + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Paso 11.6.5

Para escribir $2 \sqrt{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.6

Combina $2 \sqrt{x}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- (2 x + 5) + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.4

Multiplica $2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 11.6.8.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.4.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.6.8.4.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.4.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.5

Simplifica.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.6.8.6

Suma $- 2 x$ y $4 x$ .

$\frac{\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 11.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 11.8

Multiplica $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 11.8.1

Multiplica $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 11.8.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 11.8.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 11.8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 11.8.6

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$