Cálculo Ejemplos

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ .

$3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $\cos (\frac{1}{2} x)$ por $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Paso 1.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{1}{2} x = \arccos (0)$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Paso 1.2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = π$

Paso 1.2.7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.8

Resuelve $x$

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Paso 1.2.8.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.8.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.8.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.8.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Paso 1.2.8.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.8.2.2.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.8.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.8.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.8.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Paso 1.2.8.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Paso 1.2.8.2.2.1.6

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Paso 1.2.9

Obtén el período de $\cos (\frac{1}{2} x)$ .

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Paso 1.2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.9.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 1.2.9.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 1.2.9.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 1.2.10

El período de la función $\cos (\frac{1}{2} x)$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.11

Consolida las respuestas.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(π + 2 π n, 0)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Paso 2.2.3

Simplifica $3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$ .

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$y = 3 \cos (0)$

Paso 2.2.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$y = 3 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$y = 3$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 3)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(π + 2 π n, 0)$ , para cualquier número entero $n$

Intersección(es) con y: $(0, 3)$

Paso 4