Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1.2.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 8 u + 8 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 1.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.3

Resta $32$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.5.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Resta $32$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = 4 + 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Resta $32$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = 4 - 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 4 + 2 \sqrt{2}, 4 - 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 6.82842712$

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Paso 1.2.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 6.82842712$

Paso 1.2.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6.82842712}$

Paso 1.2.11.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.11.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6.82842712}$

Paso 1.2.11.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6.82842712}$

Paso 1.2.11.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}$

Paso 1.2.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Paso 1.2.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 1.17157287$

Paso 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.17157287}$

Paso 1.2.13.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.13.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{1.17157287}$

Paso 1.2.13.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{1.17157287}$

Paso 1.2.13.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Paso 1.2.14

La solución a $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ es $x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$ .

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 8$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Paso 2.2.4

Simplifica ${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{2} + 8$

Paso 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 8$

Paso 2.2.4.1.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 8$

Paso 2.2.4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 8$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $0$ y $8$ .

$y = 8$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 8)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 8)$

Paso 4