Cálculo Ejemplos

$p (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

Paso 1

Establece $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ igual a $0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

Paso 2.1.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 27 \cdot 3 - 27$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$27 - 81 + 27 \cdot 3 - 27$

Paso 2.1.1.3.5

Resta $81$ de $27$ .

$- 54 + 27 \cdot 3 - 27$

Paso 2.1.1.3.6

Multiplica $27$ por $3$ .

$- 54 + 81 - 27$

Paso 2.1.1.3.7

Suma $- 54$ y $81$ .

$27 - 27$

Paso 2.1.1.3.8

Resta $27$ de $27$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}{x - 3}$

Paso 2.1.1.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ por $x - 3$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 18 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							+	$9 x$	-	$27$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x - 27$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 6 x + 9$

Paso 2.1.1.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Paso 2.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 3) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 2.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 2.1.3

Combina factores semejantes.

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Paso 2.1.3.1

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 3)}^{1 + 2} = 0$

Paso 2.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 2.2

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3