Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$

Paso 1

Establece $2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$ igual a $0$ .

$2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$2 x^{4} - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{4} - 2$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (x^{4}) + 2 (- 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{4}) + 2 (- 1)$ .

$2 (x^{4} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza.

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Paso 2.1.6.1

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.6.1.2

Factoriza.

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Paso 2.1.6.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.6.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $5 x$ de $5 x^{3} - 5 x$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $5 x$ de $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) - 5 x = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $5 x$ de $- 5 x$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) + 5 x (- 1) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $5 x$ de $5 x (x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.1.8

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza.

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Paso 2.1.9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.1.9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.10.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $5 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x) = 0$

Paso 2.1.10.3

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) + 5 x) = 0$

Paso 2.1.11

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 \cdot 1 + 5 x) = 0$

Paso 2.1.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 + 5 x) = 0$

Paso 2.1.13

Reordena los términos.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 2) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.14.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 2.1.14.1.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 (x) + 2) = 0$

Paso 2.1.14.1.1.2

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + (1 + 4) x + 2) = 0$

Paso 2.1.14.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2) = 0$

Paso 2.1.14.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + x + 4 x + 2) = 0$

Paso 2.1.14.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.14.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + x) + 4 x + 2) = 0$

Paso 2.1.14.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x - 1) (x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.14.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x + 1) (x + 2)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, - \frac{1}{2}, - 2$

Paso 3