Cálculo Ejemplos

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

Paso 1

La regla de la cadena establece que la derivada de $y$ con respecto a $x$ es igual a la derivada de $y$ con respecto a $u$ veces la derivada de $u$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Paso 2

Obtén $\frac{d y}{d u}$ .

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{2} + 1$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $1$ con respecto a $u$ es $0$ .

$2 u + 0$

Paso 2.4

Suma $2 u$ y $0$ .

$2 u$

Paso 3

Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 4

Multiplica $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

Paso 5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

Paso 6

Sustituye el valor de $u$ en la derivada $6 u$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

Paso 7

Simplifica el resultado.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

Paso 7.2

Multiplica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

Paso 7.2.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$