Cálculo Ejemplos

$0 = - 2 \cos (X) + 2 \cos (2 X)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Suma $2 \cos (X)$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (X) = 2 \cos (2 X)$

Paso 1.2

Resta $2 \cos (2 X)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (X) - 2 \cos (2 X) = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos (X) - 2 (2 \cos^{2} (X) - 1) = 0$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (X) - 2 (2 \cos^{2} (X)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 2.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2 = 0$

Paso 3

Factoriza $2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $2 \cos (X)$ .

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $- 4 \cos^{2} (X)$ .

$2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X)) + 2 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1) = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $2$ de $2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X))$ .

$2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1)$ .

$2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X) + 1) = 0$

Paso 3.2

Sea $u = \cos (X)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (X)$ .

$2 (u - 2 u^{2} + 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reordena los términos.

$2 (- 2 u^{2} + u + 1) = 0$

Paso 3.3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 (- 2 u^{2} + 1 u + 1) = 0$

Paso 3.3.2.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$2 (- 2 u^{2} + (- 1 + 2) u + 1) = 0$

Paso 3.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- 2 u^{2} - 1 u + 2 u + 1) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((- 2 u^{2} - 1 u) + 2 u + 1) = 0$

Paso 3.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (u (- 2 u - 1) - (- 2 u - 1)) = 0$

Paso 3.3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 u - 1$ .

$2 ((- 2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Paso 3.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (X)$ .

$2 ((- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1)) = 0$

Paso 3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 \cos (X) - 1 = 0$

$\cos (X) - 1 = 0$

Paso 5

Establece $- 2 \cos (X) - 1$ igual a $0$ y resuelve $X$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $- 2 \cos (X) - 1$ igual a $0$ .

$- 2 \cos (X) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $- 2 \cos (X) - 1 = 0$ en $X$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos (X) = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $- 2 \cos (X) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \cos (X) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (X)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (X)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos (X)$ por $1$ .

$\cos (X) = \frac{1}{- 2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (X) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $X$ del interior del coseno.

$X = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$X = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$X = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$X = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$X = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$X = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$X = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$X = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\cos (X)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\cos (X)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$X = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\cos (X) - 1$ igual a $0$ y resuelve $X$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $\cos (X) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (X) - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (X) - 1 = 0$ en $X$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (X) = 1$

Paso 6.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $X$ del interior del coseno.

$X = \arccos (1)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$X = 0$

Paso 6.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$X = 2 π - 0$

Paso 6.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$X = 2 π$

Paso 6.2.6

Obtén el período de $\cos (X)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.7

El período de la función $\cos (X)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$X = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1) = 0$ verdadera.

$X = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$X = \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9