Cálculo Ejemplos

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ .

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$

Paso 2

Establece $y$ igual a $0$ .

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Factoriza $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 3.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 3.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

Paso 3.1.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Paso 3.1.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Paso 3.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Paso 3.1.1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 - 7 \cdot 1 - 1 + 10$

Paso 3.1.1.3.5

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$- 2 - 7 - 1 + 10$

Paso 3.1.1.3.6

Resta $7$ de $- 2$ .

$- 9 - 1 + 10$

Paso 3.1.1.3.7

Resta $1$ de $- 9$ .

$- 10 + 10$

Paso 3.1.1.3.8

Suma $- 10$ y $10$ .

$0$

Paso 3.1.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10}{x + 1}$

Paso 3.1.1.5

Divide $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ por $x + 1$ .

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Paso 3.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$10$

Paso 3.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$

Paso 3.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 3.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 3.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Paso 3.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Paso 3.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 9 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Paso 3.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Paso 3.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 9 x^{2} - 9 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 3.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$

Paso 3.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Paso 3.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Paso 3.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

Paso 3.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x + 10$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

Paso 3.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

Paso 3.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 9 x + 10$

Paso 3.1.1.6

Escribe $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 10 = 20$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 3.1.2.1.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Paso 3.1.2.1.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 4$ más $- 5$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 4 - 5) x + 10) = 0$

Paso 3.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) = 0$

Paso 3.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 4 x) - 5 x + 10) = 0$

Paso 3.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) = 0$

Paso 3.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 2$ .

$(x + 1) ((x - 2) (2 x - 5)) = 0$

Paso 3.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Paso 3.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.5

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

Paso 4