Cálculo Ejemplos

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

Paso 1

La regla de la cadena establece que la derivada de $y$ con respecto a $x$ es igual a la derivada de $y$ con respecto a $u$ veces la derivada de $u$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Paso 2

Obtén $\frac{d y}{d u}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.6

Combina $\frac{3}{2}$ y $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3

Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 4

Multiplica $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

Paso 6

Sustituye el valor de $u$ en la derivada $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$