Cálculo Ejemplos

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Paso 1

La regla de la cadena establece que la derivada de $y$ con respecto a $x$ es igual a la derivada de $y$ con respecto a $u$ veces la derivada de $u$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Paso 2

Obtén $\frac{d y}{d u}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ es $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ donde $f (u) = u + 1$ y $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u + 1$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $1$ con respecto a $u$ es $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $u$ por $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Paso 2.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1

Resta $u$ de $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Resta $1 \cdot 1$ de $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Paso 3

Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Paso 4

Multiplica $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

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Paso 5.1

Multiplica $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Paso 5.1.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Paso 5.1.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Paso 5.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Paso 6

Sustituye el valor de $u$ en la derivada $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el resultado.

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Paso 7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Paso 7.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Paso 7.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 7.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Paso 7.1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Paso 7.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Paso 7.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Paso 7.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Paso 7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Paso 7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$