Cálculo Ejemplos

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

Paso 1

La regla de la cadena establece que la derivada de $y$ con respecto a $x$ es igual a la derivada de $y$ con respecto a $u$ veces la derivada de $u$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Paso 2

Obtén $\frac{d y}{d u}$ .

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{2} + u - 2$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

Paso 2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $u$ es $0$ .

$2 u + 1 + 0$

Paso 2.5

Suma $2 u + 1$ y $0$ .

$2 u + 1$

Paso 3

Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4

Multiplica $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

Paso 5

Simplifica el lado derecho $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 5.2

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ .

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 5.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{- 2}{x^{2}}$ y $u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 6

Sustituye el valor de $u$ en la derivada $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.3

Combinar.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$