Cálculo Ejemplos

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

Paso 1

La regla de la cadena establece que la derivada de $w$ con respecto a $t$ es igual a la derivada de $w$ con respecto a $u$ veces la derivada de $u$ con respecto a $t$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2}$

Paso 3

Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t - 1$ y $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $t + 1$ por $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Combina los términos opuestos en $t + 1 - t - - 1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Resta $t$ de $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 4

Multiplica $\frac{d w}{d u}$ por $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

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Paso 5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

Paso 5.2

Multiplica $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

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Paso 5.2.1

Combina $3$ y $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Paso 5.3

Combina $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ y $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 6

Sustituye el valor de $u$ en la derivada $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el resultado.

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Paso 7.1

Aplica la regla del producto a $\frac{t - 1}{t + 1}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Combina $6$ y $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 7.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 7.4

Combinar.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

Paso 7.5

Multiplica ${(t + 1)}^{2}$ por ${(t + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

Paso 7.5.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

Paso 7.6

Multiplica $6 {(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$