Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ es $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ donde $f (z) = 2 x$ y $g (z) = z^{2} - y^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $z^{2} - y^{2}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $2 z$ y $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $z^{2}$ por $0$ .

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- y^{2} \cdot 0$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $y^{2}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 - 4 x z$ .

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Paso 3.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Resta $4 x z$ de $0$ .

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = y$ .

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

Paso 3.4.2

Aplica la regla del producto a $(z + y) (z - y)$ .

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$