Cálculo Ejemplos

$\frac{4 y}{x + 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 4 y$ y $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [4 y] - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + 2) (4 \frac{d}{d y} [y]) - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (0 + \frac{d}{d y} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (0 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 4 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 4 y \cdot 0$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$\frac{4 x + 8 + 0 y}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $y$ .

$\frac{4 x + 8 + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Suma $4 x + 8$ y $0$ .

$\frac{4 x + 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $4$ de $4 x + 8$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{4 (x) + 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 x + 4 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot 2$ .

$\frac{4 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $x + 2$ de $4 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{(x + 2) (x + 2)}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{(x + 2) (x + 2)}$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x + 2}$