Cálculo Ejemplos

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ es $n A^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2000$ es constante con respecto a $A$ , la derivada de $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ con respecto a $A$ es $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ es $f' (g (A)) g' (A)$ donde $f (A) = A^{60}$ y $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $60$ por $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{r}{12}$ con respecto a $A$ es $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $A$ , la derivada de $1$ con respecto a $A$ es $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

Paso 3.3.5

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $A$ , la derivada de $\frac{r}{12}$ con respecto a $A$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

Paso 3.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.6.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Paso 3.3.6.2

Combina $\frac{120000}{12}$ y ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Paso 3.3.6.3

Cancela el factor común de $120000$ y $12$ .

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Paso 3.3.6.3.1

Factoriza $12$ de $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Paso 3.3.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.6.3.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

Paso 3.3.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

Paso 3.3.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

Paso 3.3.6.3.2.4

Divide $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ por $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d A} [r]$ como $r'$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Paso 5

Resuelve $r'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ por $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ por $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $10000$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

Paso 5.2.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

Paso 5.2.3.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{12 + r}{12}$ .

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Paso 5.2.3.2

Combina $10000$ y $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ .

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ por $1$ .

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Paso 6

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d A}$ .

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$