Cálculo Ejemplos

$q = \frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2})$

Paso 2

La derivada de $q$ con respecto a $t$ es $q'$ .

$q'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t + 2$ .

$\frac{(t + 2) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.5

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $t + 2$ por $1$ .

$\frac{t + 2 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.7

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{t + 2 - t \cdot 1}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 2 - t}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.9

Resta $t$ de $t$ .

$\frac{0 + 2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.2.10

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 (2 t)$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 6 t$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$q' = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $q'$ con $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$