Cálculo Ejemplos

$q = \sqrt{20 r - r^{7}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{20 r - r^{7}}$ como ${(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} ({(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $q$ con respecto a $r$ es $q'$ .

$q'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ y $g (r) = 20 r - r^{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $20 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.6.3

Mueve ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $20 r - r^{7}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Paso 4.8

Como $20$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $20 r$ con respecto a $r$ es $20 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Paso 4.10

Multiplica $20$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Paso 4.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- r^{7}$ con respecto a $r$ es $- \frac{d}{d r} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d r} [r^{7}])$

Paso 4.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (7 r^{6}))$

Paso 4.13

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$

Paso 4.14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.14.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$ .

$(20 - 7 r^{6}) \frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.2

Multiplica $20 - 7 r^{6}$ por $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$q' = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $q'$ con $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$