Cálculo Ejemplos

$q = \sqrt{15 r - r^{7}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15 r - r^{7}}$ como ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} ({(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ es $f' (g (q)) g' (q)$ donde $f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ y $g (q) = 15 r - r^{7}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $15 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $15 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.6.3

Mueve ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $15 r - r^{7}$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Paso 4.8

Como $15$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $15 r$ con respecto a $q$ es $15 \frac{d}{d q} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 \frac{d}{d q} [r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Paso 4.9

Reescribe $\frac{d}{d q} [r]$ como $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Paso 4.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $- r^{7}$ con respecto a $q$ es $- \frac{d}{d q} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - \frac{d}{d q} [r^{7}])$

Paso 4.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ es $f' (g (q)) g' (q)$ donde $f (q) = q^{7}$ y $g (q) = r$ .

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Paso 4.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d q} [r]))$

Paso 4.11.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Paso 4.11.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Paso 4.12

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 (r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Paso 4.13

Reescribe $\frac{d}{d q} [r]$ como $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 r^{6} r')$

Paso 4.14

Simplifica.

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Paso 4.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r') + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Paso 4.14.2

Combina los términos.

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Paso 4.14.2.1

Combina $15$ y $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r' + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Paso 4.14.2.2

Combina $\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ y $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Paso 4.14.2.3

Combina $- 7$ y $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (r^{6} r')$

Paso 4.14.2.4

Combina $r^{6}$ y $\frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r'$

Paso 4.14.2.5

Combina $\frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ y $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.2.6

Mueve $- 7$ a la izquierda de $r^{6}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 \cdot r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.3

Reordena los términos.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $r'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 6.2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.2.3

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 6.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.2.5

El MCM de $2, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 6.2.6

El factor para $15 r - r^{7}$ es $15 r - r^{7}$ en sí mismo.

$(15 r - r^{7}) = 15 r - r^{7}$

$(15 r - r^{7})$ ocurre $1$ vez.

Paso 6.2.7

El MCM de ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.8

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- 7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

Paso 6.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4

Cancela el factor común de ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Factoriza $r'$ de $- 7 r^{6} r' + 15 r'$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $r'$ de $- 7 r^{6} r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.2

Factoriza $r'$ de $15 r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15 = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.3

Factoriza $r'$ de $r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15$ .

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ por $- 7 r^{6} + 15$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ por $- 7 r^{6} + 15$ .

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7 r^{6} + 15$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 7 r^{6}$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) + 15}$

Paso 6.4.2.3.2

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) - 1 (- 15)}$

Paso 6.4.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (7 r^{6}) - 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6} - 15)}$

Paso 6.4.2.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 6.4.2.3.4.1

Reescribe $- (7 r^{6} - 15)$ como $- 1 (7 r^{6} - 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (7 r^{6} - 15)}$

Paso 6.4.2.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r' = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$

Paso 7

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d q}$ .

$\frac{d r}{d q} = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$