Cálculo Ejemplos

$R = 5 \tan^{2} (3 π t)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (R) = \frac{d}{d t} (5 \tan^{2} (3 π t))$

Paso 2

La derivada de $R$ con respecto a $t$ es $R'$ .

$R'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 \tan^{2} (3 π t)$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \tan (3 π t)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (3 π t)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (3 π t)$ .

$5 (2 \tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 (\tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \tan (t)$ y $g (t) = 3 π t$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 π t])$

Paso 3.4.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Como $3 π$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 π t$ con respecto a $t$ es $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \cdot 1)$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$

Paso 3.5.4.2

Reordena los factores de $30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$ .

$30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$R' = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Paso 5

Reemplaza $R'$ con $\frac{d R}{d t}$ .

$\frac{d R}{d t} = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$