Cálculo Ejemplos

$p = 500 e^{- 0.4 q}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d p} (p) = \frac{d}{d p} (500 e^{- 0.4 q})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $500$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $500 e^{- 0.4 q}$ con respecto a $p$ es $500 \frac{d}{d p} [e^{- 0.4 q}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [e^{- 0.4 q}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = e^{p}$ y $g (p) = - 0.4 q$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 0.4 q$ .

$500 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d p} [- 0.4 q])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$500 (e^{u} \frac{d}{d p} [- 0.4 q])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 0.4 q$ .

$500 (e^{- 0.4 q} \frac{d}{d p} [- 0.4 q])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 0.4$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $- 0.4 q$ con respecto a $p$ es $- 0.4 \frac{d}{d p} [q]$ .

$500 e^{- 0.4 q} (- 0.4 \frac{d}{d p} [q])$

Paso 3.3.2

Multiplica $- 0.4$ por $500$ .

$- 200 e^{- 0.4 q} \frac{d}{d p} [q]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d p} [q]$ como $q'$ .

$- 200 e^{- 0.4 q} q'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - 200 e^{- 0.4 q} q'$

Paso 5

Resuelve $q'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$ .

$- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$ por $- 200 e^{- 0.4 q}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$ por $- 200 e^{- 0.4 q}$ .

$\frac{- 200 e^{- 0.4 q} q'}{- 200 e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 200$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 200 e^{- 0.4 q} q'}{- 200 e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- 0.4 q} q'}{e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $e^{- 0.4 q}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 0.4 q} q'}{e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $q'$ por $1$ .

$q' = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$q' = - \frac{1}{200 e^{- 0.4 q}}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $1$ como $1 (1)$ .

$q' = - \frac{1 (1)}{200 e^{- 0.4 q}}$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $200$ de $200 e^{- 0.4 q}$ .

$q' = - \frac{1 (1)}{200 (e^{- 0.4 q})}$

Paso 5.2.3.4

Separa las fracciones.

$q' = - (\frac{1}{200} \cdot \frac{1}{e^{- 0.4 q}})$

Paso 5.2.3.5

Divide $1$ por $200$ .

$q' = - (0.005 \frac{1}{e^{- 0.4 q}})$

Paso 5.2.3.6

Combina $0.005$ y $\frac{1}{e^{- 0.4 q}}$ .

$q' = - \frac{0.005}{e^{- 0.4 q}}$

Paso 6

Reemplaza $q'$ con $\frac{d q}{d p}$ .

$\frac{d q}{d p} = - \frac{0.005}{e^{- 0.4 q}}$