Cálculo Ejemplos

$p = \frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (p) = \frac{d}{d r} (\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}})$

Paso 2

La derivada de $p$ con respecto a $r$ es $p'$ .

$p'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $144$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$ con respecto a $r$ es $144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$ .

$144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ es $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ donde $f (r) = r$ y $g (r) = {(r + 0.6)}^{2}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{({(r + 0.6)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(r + 0.6)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.3.3

Multiplica ${(r + 0.6)}^{2}$ por $1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{2}$ y $g (r) = r + 0.6$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 u \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.5.2

Factoriza $r + 0.6$ de ${(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $r + 0.6$ de ${(r + 0.6)}^{2}$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) - 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $r + 0.6$ de $- 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $r + 0.6$ de $(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $r + 0.6$ de ${(r + 0.6)}^{4}$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $r + 0.6$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6]$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.9

Como $0.6$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $0.6$ con respecto a $r$ es $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + 0)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.10

Simplifica los términos.

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Paso 3.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \cdot 1}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.10.3

Resta $2 r$ de $r$ .

$144 \frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.10.4

Combina $144$ y $\frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$ .

$\frac{144 (- r + 0.6)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{144 (- r) + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$\frac{- 144 r + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $144$ por $0.6$ .

$\frac{- 144 r + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.3

Factoriza $28.8$ de $- 144 r + 86.4$ .

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Paso 3.11.3.1

Factoriza $28.8$ de $- 144 r$ .

$\frac{28.8 (- 5 r) + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.3.2

Factoriza $28.8$ de $86.4$ .

$\frac{28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.3.3

Factoriza $28.8$ de $28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)$ .

$\frac{28.8 (- 5 r + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.4

Factoriza $- 1$ de $- 5 r$ .

$\frac{28.8 (- (5 r) + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.5

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{28.8 (- (5 r) - 1 (- 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (5 r) - 1 (- 3)$ .

$\frac{28.8 (- (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.7

Reescribe $- (5 r - 3)$ como $- 1 (5 r - 3)$ .

$\frac{28.8 (- 1 (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 3.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$p' = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Paso 5

Reemplaza $p'$ con $\frac{d p}{d r}$ .

$\frac{d p}{d r} = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$