Cálculo Ejemplos

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

Paso 2

La derivada de $P$ con respecto a $r$ es $P'$ .

$P'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $B^{3}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ con respecto a $r$ es $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ .

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ es $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ donde $f (r) = r$ y $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $R^{2} + R r + r^{2}$ por $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $R^{2} + R r + r^{2}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4

Como $R^{2}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $R^{2}$ con respecto a $r$ es $0$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d r} [R r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.6

Como $R$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $R r$ con respecto a $r$ es $R \frac{d}{d r} [r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.8

Multiplica $R$ por $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.10

Combina $B^{3}$ y $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Combina los términos opuestos en $B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.1

Reordena los factores en los términos $B^{3} (R r)$ y $B^{3} (- r R)$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3.1.2

Resta $B^{3} R r$ de $B^{3} R r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3.1.3

Suma $B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ y $0$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3.2.2

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.2.2.1

Mueve $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3.2.2.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Resta $2 B^{3} r^{2}$ de $B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Paso 3.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.5.1

Factoriza $B^{3}$ de $B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.5.1.1

Factoriza $B^{3}$ de $B^{3} R^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Paso 3.4.5.1.2

Factoriza $B^{3}$ de $- B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Paso 3.4.5.1.3

Factoriza $B^{3}$ de $B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Paso 3.4.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = R$ y $b = r$ .

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $P'$ con $\frac{d P}{d r}$ .

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$