Cálculo Ejemplos

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t^{4} + 25}$ como ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

Paso 3

La derivada de $s$ con respecto a $t$ es $s'$ .

$s'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ .

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = t^{4} + 25$ .

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Paso 4.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{4} + 25$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $25$ con respecto a $t$ es $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.11

Suma $4 t^{3}$ y $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.13

Combina $4$ y $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.14

Combina $\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $t^{3}$ .

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.15

Mueve ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.16

Factoriza $2$ de $4 t^{3}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.17

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.17.1

Factoriza $2$ de $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.17.2

Cancela el factor común.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.17.3

Reescribe la expresión.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.18

Combina $10$ y $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.2.19

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $- 50$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 50$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 4.3.2

Suma $\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$