Cálculo Ejemplos

$s = \sqrt{t} + 7 t^{2}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2})$

Paso 3

La derivada de $s$ con respecto a $t$ es $s'$ .

$s'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 t^{2}$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 (2 t)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 14 t$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Paso 4.4.3

Reordena los términos.

$14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$s' = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$