Cálculo Ejemplos

$s = t^{12} \ln (| t |)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{12} \ln (| t |))$

Paso 2

La derivada de $s$ con respecto a $t$ es $s'$ .

$s'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{12}$ y $g (t) = \ln (| t |)$ .

$t^{12} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = | t |$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $| t |$ .

$t^{12} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$t^{12} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $| t |$ .

$t^{12} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{| t |}$ y $t^{12}$ .

$\frac{t^{12}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.4

La derivada de $| t |$ con respecto a $t$ es $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{12}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{t^{12}}{| t |}$ por $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{12} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.6

Multiplica $t^{12}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1

Multiplica $t^{12}$ por $t$ .

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Paso 3.6.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{12} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{12 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.6.2

Suma $12$ y $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.7

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{t^{13}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.8

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.9

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{13}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 12$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (12 t^{11})$

Paso 3.13

Simplifica.

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Paso 3.13.1

Reordena los términos.

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 3.13.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.2.1

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{t^{13}}{t^{2}} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 3.13.2.2

Cancela el factor común de $t^{13}$ y $t^{2}$ .

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Paso 3.13.2.2.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{13}$ .

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2}} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 3.13.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2} \cdot 1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 3.13.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2} \cdot 1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 3.13.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{11}}{1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 3.13.2.2.2.4

Divide $t^{11}$ por $1$ .

$t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$s' = t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Paso 5

Reemplaza $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$