Cálculo Ejemplos

$r = 70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (70 (30 x - x^{\frac{3}{2}}))$

Paso 2

La derivada de $r$ con respecto a $x$ es $r'$ .

$r'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $70$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$ con respecto a $x$ es $70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $30 x - x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.3

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$70 (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$70 (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.5

Multiplica $30$ por $1$ .

$70 (30 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (30 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 3.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 3.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Paso 3.11.2

Resta $2$ de $3$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3.12

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$70 (30 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.13

Simplifica.

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Paso 3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$70 \cdot 30 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.13.2

Combina los términos.

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Paso 3.13.2.1

Multiplica $70$ por $30$ .

$2100 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.13.2.2

Multiplica $- 1$ por $70$ .

$2100 - 70 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.13.2.3

Combina $- 70$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2100 + \frac{- 70 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 3.13.2.4

Multiplica $3$ por $- 70$ .

$2100 + \frac{- 210 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.13.2.5

Factoriza $2$ de $- 210 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 3.13.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Paso 3.13.2.6.2

Cancela el factor común.

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.13.2.6.3

Reescribe la expresión.

$2100 + \frac{- 105 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Paso 3.13.2.6.4

Divide $- 105 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2100 - 105 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.13.3

Reordena los términos.

$- 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$r' = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Paso 5

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$