Cálculo Ejemplos

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

Paso 2

La derivada de $w$ con respecto a $p$ es $w'$ .

$w'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = \log_{8} (p)$ y $g (p) = 2^{p} - 1$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\log_{8} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2^{p} - 1$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ es $a^{p} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $p$ es $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

Paso 3.4.2

Combina fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Suma $2^{p} \ln (2)$ y $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

Paso 3.4.2.2

Combina $2^{p}$ y $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

Paso 3.4.2.3

Combina $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ y $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

Paso 3.5.2

Reescribe $- 1 \ln (8)$ como $- \ln (8)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Paso 5

Reemplaza $w'$ con $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$