Cálculo Ejemplos

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

Paso 2

La derivada de $w$ con respecto a $t$ es $w'$ .

$w'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{90}$ y $g (t) = t^{7} + 1$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{7} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 90$ .

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{7} + 1$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{7} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $7 t^{6}$ y $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $7$ por $90$ .

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

Paso 3.2.4.3

Reordena los factores de $630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ .

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Paso 5

Reemplaza $w'$ con $\frac{d w}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$