Cálculo Ejemplos

$V = x (36 - x) (24 - 2 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} (x (36 - x) (24 - 2 x))$

Paso 2

La derivada de $V$ con respecto a $x$ es $V'$ .

$V'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x (36 - x)$ y $g (x) = 24 - 2 x$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.2.2

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (36 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (36 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (36 - x) (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x (36 - x) \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.2.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x (36 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (36 - x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 36 - x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [36 - x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $36 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.2

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \cdot - 1 + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 1 \cdot x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \cdot 1)$

Paso 3.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $36 - x$ por $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + 36 - x)$

Paso 3.4.8.2

Resta $x$ de $- x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Paso 3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Paso 3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $36$ por $- 2$ .

$- 72 x - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 72 x + 2 x \cdot x + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 72 x + 2 x^{1 + 1} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.7

Multiplica $- 2$ por $24$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.8

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x \cdot x + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.13

Multiplica $24$ por $36$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 2 x \cdot 36$

Paso 3.5.5.14

Multiplica $36$ por $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 72 x$

Paso 3.5.5.15

Resta $72 x$ de $- 48 x$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 120 x + 4 x^{2} + 864$

Paso 3.5.5.16

Resta $120 x$ de $- 72 x$ .

$2 x^{2} - 192 x + 4 x^{2} + 864$

Paso 3.5.5.17

Suma $2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 192 x + 864$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$V' = 6 x^{2} - 192 x + 864$

Paso 5

Reemplaza $V'$ con $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 6 x^{2} - 192 x + 864$