Cálculo Ejemplos

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 2

La derivada de $v'$ con respecto a $x$ es $v''$ .

$v''$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.3.3

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.5.2

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x + 1$ de $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.10

Simplifica los términos.

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Paso 3.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.10.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.10.4

Combina $2$ y $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.3

Factoriza $2$ de $- 2 x + 2$ .

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Paso 3.11.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.7

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 5

Reemplaza $v'$ con $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$